Exercices série 2, Corrigé

Logique propositionnelle

Rappel: Modus Ponens
$p \rightarrow q$
$p$
$\therefore$ q

1. Construisez un argument d’après le modus ponens.

a. Si une personne participe, alors elle réussit.
b. Les étudiant.e.s participent.
c. $\therefore$ Les étudiant.e.s réussissent.

Rappel: Affirmation du conséquent (fallacie)
$p \rightarrow q$
$q$
$\not \therefore$ p

1. Construisez un argument fallacieux employant l’affirmation du conséquent.

a. Si une personne participe, alors elle réussit.
b. Les étudiant.e.s ont réussi.
c. $\not \therefore$ Les étudiant.e.s ont participé.

1. Voici deux autres types d’arguments. D’après vous, lequel est un type d’argument valide? Lequel est une fallacie? Expliquez pourquoi.

   1. a. S’il a plu hier au soir, alors la pelouse est mouillée.
      b. La pelouse est sèche.
      c. Donc, il n’a pas plus hier au soir.

   Argument valide (modus tollens)

   1. a. S’il a plu hier au soir, alors la pelouse est mouillée.
      b. Il n’a pas plu hier au soir.
      c. Donc, la pelouse n’est pas mouillée.

   Fallacie (négation de l’antécédent)

2. Donnez la table de vérité de la disjonction exclusive, également appelée XOR.

$p$	$q$	$p \veebar q$
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

1. Donnez la table de vérité de $\neg [p \land q]$.

$p$	$q$	$p \land q$	$\neg [p \land q]$
1	1	1	0
1	0	0	1
0	1	0	1
0	0	0	1

Définition: équivalence ($\equiv$)
Deux formules sont dites équivalentes lorsqu’elles ont les mêmes conditions de vérité (i.e., qu’elles sont vraies dans les exactement les mêmes modèles).

1. Une des lois de De Morgan est l’équivalence suivante:

\[\neg [p \wedge q]\equiv [\neg p \lor \neg q]\]

En utilisant la table de vérité que vous venez d’établir, prouvez cette équivalence.

$\neg [p \land q]$	$\neg p$	$\neg q$	$[\neg p \lor \neg q]$
0	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

1. Une autre loi de De Morgan est l’équivalence suivante: $\neg [p \lor q]\equiv [\neg p \wedge \neg q]$. Construisez la table de vérité nécessaire à prouver cette équivalence.

$p$	$q$	$\neg p$	$\neg q$	$p \lor q$
1	1	0	0	1
0	0	1	1	0
1	0	0	1	1
0	1	1	0	1

$[\neg p \land \neg q]$	$\neg [p \lor q]$
0	0
1	1
0	0
0	0