Exercices série 3, Corrigé
Logique propositionnelle (suite)
- Prouvez l’équivalence suivante avec une table de vérité: [$p \rightarrow q] \equiv [\neg p \lor q]$.
$p$ $q$ $p \rightarrow q$ $\neg p$ $[\neg p \lor q]$ 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1
- Les tables de vérité nous permettent de déterminer si un argument est valide ou non: ce sera le cas ssi l’argument est vrai dans tous les modèles. Construisez une table de vérité prouvant la validité du Modus Tollens.
Rappel: Modus Tollens
P1: $p \rightarrow q$
P2: $\neg q$
C: $\therefore \neg p$
Afin de déterminer si le modus tollens est un type d’argument valide (i.e., vrai dans tous les modèles possibles), nous devons d’abord déterminer la valeur de vérité des prémisses et de la conclusion prises séparément.
$p$ $q$ $p \rightarrow q$ $\neg q$ $\neg p$ 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1
Puis, nous devons déterminer si l’implication matérielle nous permettant de passer des prémisses à la conclusion est vraie dans tous les modèles. Pour ce faire, nous devons calculer la valeur de vérité de l’argument en entier, c’est-à-dire la calculer la valeur de vérité de l’implication matérielle composée de la conjonction des deux prémisses (antécédent) et de la conclusion (conséquent). En langage semi-formel:
$[[P1] \land [P2]] \rightarrow C$
Ce qui nous donne la table de vérité suivante:
$[[p \rightarrow q] \land \neg q]$ $\neg p$ $[[[p \rightarrow q] \land \neg q] \rightarrow \neg p]$ 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1
Comme le montre la dernière colonne, la valeur de l’implication matérielle partant de la conjonction des deux prémisses P1 et P2 à la conclusion C est vraie dans tous les modèles; la conclusion découle nécessairement des prémisses, le modus tollens est donc une forme d’argument logiquement valide.
- De la même manière, prouvez à l’aide d’une table de vérité que la négation de l’antécédent est une fallacie (un argument invalide).
Rappel: négation de l’antécédent
P1: $p \rightarrow q$
P2: $\neg p$
C: $\not \therefore \neg q$
Nous suivons ici la même démarche que dans l’exercice précédent; afin de déterminer la validité ou l’invalidité logique d’un argument, nous devons établir sa table de vérité. Si l’argument est faux dans au moins un modèle, alors l’argument est invalide - il s’agit d’une fallacie.
Nous commençons par calculer la valeur de vérité des prémisses et de la conclusion séparément:
$p$ $q$ $p \rightarrow q$ $\neg p$ $\neg q$ 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1
Puis nous calculons
$[[P1] \land [P2]] \rightarrow C$
Ce qui nous donne la TV suivante:
$[[p \rightarrow q] \land \neg p]$ $\neg q$ $[[[p \rightarrow q] \land \neg p] \rightarrow \neg q]$ 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1
Comme le montre la dernière colonne, l’implication nous permettant de passer des prémisses à la conclusion est fausse dans au moins un modèle (le deuxième); l’argument est donc logiquement invalide, la négation de l’antécédent est bien une fallacie.
- À l’aide de tables de vérité, prouvez que les formules suivantes sont équivalentes:
- $[p \rightarrow q] \equiv [\neg q \rightarrow \neg p]$
- $[p \rightarrow p] \equiv [p \lor \neg p]$
- $[p \rightarrow q] \equiv [\neg q \rightarrow \neg p]$
$p$ $q$ $p \rightarrow q$ $\neg p$ $\neg q$ $[\neg q \rightarrow \neg p]$ 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
- $[p \rightarrow p] \equiv [p \lor \neg p]$
$p$ $\neg p$ $p \rightarrow p$ $p \lor \neg p$ 1 0 1 1 0 1 1 1
- Lesquelles des formules suivantes sont des tautologies? Des contradictions?
- $[[p \rightarrow q] \lor [q \rightarrow p]]$
$p$ $q$ $p \rightarrow q$ $q \rightarrow p$ $[[p \rightarrow q] \lor [q \rightarrow p]]$ 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1
Il s’agit d’une tautologie (la formule est vraie dans tous les modèles).
- $[[p \rightarrow q] \leftrightarrow [\neg q \lor \neg p]]$
$p$ $q$ $p \rightarrow q$ $\neg p$ $\neg q$ $[\neg q \lor \neg p]$ 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 | $[[p \rightarrow q] \leftrightarrow [\neg q \lor \neg p]]$ | |— 0 1 0 1
Cette formule n’est ni une tautologie, ni une contradiction; c’est une formule contingente.