David Blunier

David Blunier

Linguist

Exercices, série 5

Fonctions d’interprétation et d’assignation

Considérez le modèle $M_{1}$, dans lequel l’ensemble des individus $D_{M_{1}}$ sont les suivants:

\[D_{M_{1}} = \{ \text{David Blunier, l'ordinateur de l'amphi Varda, le réparateur} \}\] \[M_{1} = \left[ \begin{aligned} &db \rightarrow \text{David Blunier} \\ &o \rightarrow \text{l'ordinateur} \\ &r \rightarrow \text{le réparateur} \\ &interfère.avec \rightarrow \{ \langle db, o \rangle, \langle o, db \rangle \} \\ &énerve \rightarrow \{ \langle o, db \rangle \} \\ &répare \rightarrow \{ \langle r, o \rangle, \langle db, o \rangle \} \\ &en.retard \rightarrow \{ db, r \} \\ \end{aligned} \right]\]

Ajoutons à $M_{1}$ les fonctions d’assignation $g_{1}$ et $g_{2}$ suivantes:

\[g_{1} = \left[ \begin{aligned} &x \mapsto \text{David Blunier} \\ &y \mapsto \text{l'ordinateur} \\ &z \mapsto \text{le réparateur} \\ \end{aligned} \right] g_{2} = \left[ \begin{aligned} &x \mapsto \text{l'ordinateur} \\ &y \mapsto \text{David Blunier} \\ &z \mapsto \text{David Blunier} \\ \end{aligned} \right]\]
  1. Quelle est la dénotation les objets suivants dans $M_{1}$?
    1. $\llbracket o \rrbracket^{M_{1}}$
    2. $\llbracket r \rrbracket^{M_{1}}$
    3. $\llbracket répare(db,o) \rrbracket^{M_{1}}$
    4. $\llbracket interfère.avec(db, o) \rrbracket^{M_{1}}$
    5. $\llbracket énèrve(o, r) \rrbracket^{M_{1}}$
  2. Qu’est ce que $g_{1}(y)$?
  3. Qu’est-ce que $\llbracket x \rrbracket^{M_{1}, g{_{1}}[y \mapsto r]}$?
  4. Qu’est ce que $g{_{1}}[x \mapsto r](y)$?
  5. Qu’est ce que $g{_{1}}[x \mapsto r](x)$?
  6. Qu’est-ce que $\llbracket x \rrbracket^{M_{1}, g_{2}}$?

  7. Qu’est-ce que $\llbracket z \rrbracket^{M_{1}, g{_{2}}[z \mapsto o]}$?

  8. Calculez la dénotation des expressions suivantes:
    1. $\llbracket répare(z,y) \rrbracket^{M_{1}, g_{1}}$
    2. $\llbracket en.retard(x) \rrbracket^{M_{1}, g_{1}}$
    3. $\llbracket répare(z,y) \rrbracket^{M_{1}, g_{2}}$
    4. $\llbracket interfère.avec(z,y) \rrbracket^{M_{1}, g_{2}}$
    5. $\llbracket interfere.avec(x,y) \rrbracket^{M_{1}, g_{1}[y \mapsto r]}$
    6. $\llbracket énerve(x,db) \rrbracket^{M_{1}, g_{2}}$
    7. $\llbracket répare(r,y) \rrbracket^{M_{1}, g{_{2}}[y \mapsto o]}$
  9. En considérant les règles sémantiques de quantification (existentielle et universelle), calculez la dénotation des expressions suivantes dans $M_{1}$:

Règle d’interprétation sémantique: quantification existentielle $\llbracket \exists x. \phi \rrbracket^{M, g} = 1$ ssi il existe un individu $k \in D$ tel que $\llbracket \phi \rrbracket^{M, g[x \mapsto k]} = 1$.

Règle d’interprétation sémantique: quantification universelle $\llbracket \forall u. \phi \rrbracket^{M, g} = 1$ ssi pour tous les individus $k \in D$, $\llbracket \phi \rrbracket^{M, g[u \mapsto k]} = 1$.

  1. $\llbracket \exists x \exists y. répare(x,y) \rrbracket^{M_{1}, g}$
  2. $\llbracket \exists x. en.retard(x) \rrbracket^{M_{1}, g}$
  3. $\llbracket \exists x. interfere.avec(x,db) \rrbracket^{M_{1}, g}$
  4. $\llbracket \forall x. en.retard(x) \rrbracket^{M_{1}, g}$
  5. $\llbracket \forall x. énerve(x,db) \rrbracket^{M_{1}, g}$

Attention: souvenez-vous qu’une variable liée par un quantificateur a la même valeur quelle que soit la fonction d’assignation $g$!